Obliczanie kąta i różnicy fazowej funkcji trygonometrycznych może wydawać się skomplikowane, zwłaszcza gdy równanie zawiera kilka parametrów. Ten przewodnik porządkuje najważniejsze pojęcia i pokazuje, jak korzystać z kalkulatora przesunięcia fazowego.
Takie obliczenia są przydatne w matematyce, analizie sygnałów, elektronice oraz inżynierii odwrotnej PCB.
Trudność polega zwykle na prawidłowym rozpoznaniu parametrów występujących we wzorach, takich jak:
- Częstotliwości odcięcia
- Częstotliwość próbkowania
- Częstotliwość rezonansu
- Faza A
W kolejnych częściach wyjaśniamy, czym jest przesunięcie fazowe, jak odczytać je z równania i jak powiązać je z amplitudą, okresem oraz przesunięciem pionowym.
Zacznijmy od podstawowej postaci funkcji sinusoidalnej.
1. Co to jest przesunięcie fazowe funkcji?
Przesunięcie fazowe opisuje różnicę położenia dwóch przebiegów w obrębie tego samego cyklu. W tym artykule analizujemy przede wszystkim funkcje trygonometryczne: sinus i cosinus.
Kreślenie funkcji Sin(x) i Cos(x).
Oprócz fazy potrzebne będą pojęcia amplitudy, okresu i przesunięcia pionowego. Poniższy wykres pokazuje, gdzie występują te wielkości.
Wykres przedstawiający przesunięcie fazowe, okres, amplitudę i przesunięcie pionowe.
Do opisu takich przebiegów stosuje się ogólne równanie funkcji z przesunięciem fazowym.
Dla sinusoidy:
f(x) = A × sin (Bx - C) + D
Dla cosinusa:
f(x) = A × cos (Bx - C) + D
Trójfazowa sinusoida
Parametry A, B, C i D mogą być liczbami rzeczywistymi, przy czym A i B muszą być niezerowe. Na podstawie tych czterech wartości można wyznaczyć amplitudę, okres, przesunięcie fazowe i przesunięcie pionowe.
Generator sinusoidy
Bardziej złożone przebiegi wymagają dodatkowych przekształceń, jednak tutaj pozostajemy przy podstawowych przypadkach.
2. Jak obliczyć przesunięcie fazowe?
Przejdźmy do obliczeń. Funkcję trygonometryczną opisują tutaj cztery podstawowe wielkości: amplituda, okres, przesunięcie fazowe i przesunięcie pionowe.
Diagram przedstawiający amplitudę, okres i długość fali.
amplituda
Amplituda określa największe wychylenie wartości funkcji od linii środkowej do maksimum lub minimum. Dla podstawowych funkcji sinus i cosinus amplituda wynosi 1, a linia środkowa leży na poziomie 0.
Wartości funkcji zmieniają się więc od -1 do 1. W ogólnym równaniu za amplitudę odpowiada parametr A.
okres
Wykres funkcji sinus i cosinus.
Okres to odległość między dwoma kolejnymi punktami przebiegu znajdującymi się w tej samej fazie, na przykład między sąsiednimi maksimami. Dla opisywanej funkcji okres wynosi 2π/B.
Przesunięcie fazowe
Przesunięcie fazowe, nazywane też przesunięciem poziomym, określa, o ile wykres funkcji przesunął się wzdłuż osi x względem położenia podstawowego. W przyjętej postaci równania opisuje je parametr C.
Przesunięcie w pionie
Przesunięcie pionowe określa zmianę położenia całego wykresu wzdłuż osi y. W równaniu odpowiada mu parametr D.
Podsumowując:
Rozważmy równanie:
Y = A sin (B(x + C)) + D
gdzie:
- A = Amplituda
- 2π/B =okres
- C = przesunięcie fazowe
- D = Przesunięcie pionowe
Oto przykład tej formuły w akcji:
2 sin (4(x 0,5)) + 3
gdzie:
- Amplituda (A) = 2
- Okres (2π/B) = 2π/4 = π/2
- Przesunięcie fazowe (C) = 0,5 w prawo
- Przesunięcie pionowe (D) = 3
Oto wykres interpretacji wizualnej:
Kalkulator:Wykres pojęcia dla powyższego równania
Interpretacja poszczególnych wartości wygląda następująco:
- Amplituda = 2, więc wychylenie funkcji jest 2 razy większe niż dla podstawowej sinusoidy.
- Standardowy okres wynosi 2π, lecz współczynnik 4 przy x skraca go do π/2.
- Wartość 0,5 oznacza przesunięcie funkcji o 0,5 w prawo, zatem przesunięcie fazowe = 0,5.
- Parametr D wyznacza linię środkową y = +3, więc przesunięcie pionowe = 3.
3. Używanie kalkulatora przesunięcia fazowego do rozwiązywania przykładów
W tym przykładzie użyjemy kalkulatora do wyznaczenia przesunięcia fazowego funkcji tangens. Poniżej pokazano narzędzie, na którym opierają się obliczenia.
Kalkulator przesunięcia fazowego funkcji tangens.
Jak znaleźć przesunięcie fazowe stycznej
Funkcja tangens ma inną postać wykresu niż sinus i cosinus, ale przesunięcie fazowe odczytuje się z równania według tej samej zasady.
Rozważmy przykład:
Y = tan (x + 60)
Ogólna postać równania funkcji tangens jest następująca:
Y = tan(b(x+c))+d
W tej postaci:
- Amplituda = a
- Okres = π/b
- Przesunięcie fazowe = −c/b
- Przesunięcie w pionie = d
Dla przykładu Y = tan(x+60):
- Amplituda (patrz poniżej)
- okres =π/b
- okres = 180/1 = 180
- Przesunięcie fazowe=−c/b=−60/1=−60
Wykres ma taki sam kształt jak y = tan(x), lecz jest przesunięty o 60 stopni w stronę ujemnych wartości osi x.
Przesunięcie pionowe=d=0 (nie ma przesunięcia pionowego)
Funkcja tangens nie ma amplitudy, ponieważ nie jest ograniczona i dla określonych argumentów pozostaje niezdefiniowana.
Wykresy: Y = tan(x) i Y = tan(x+60)
Jak Graph Trig funkcje z przesunięciem fazowym?
Wykres funkcji trygonometrycznej.
Do podstawowych funkcji trygonometrycznych należą sinus, cosinus, tangens i cotangens. Wyznaczenie przesunięcia fazowego jest jednym z najważniejszych etapów analizy ich wykresów.
Wykres funkcji z przesunięciem fazowym można przygotować w trzech krokach.
Załóżmy, że dana jest funkcja y = sin (2x - 4) + 6.
Najpierw zapisz równanie w standardowej postaci funkcji trygonometrycznej:
Y = sin (Bx -C) + D
W tym przypadku równanie ma już standardową postać, więc nie trzeba go przekształcać.
Następnie określ wartości A, B, C i D. Po porównaniu przykładu z postacią standardową otrzymujemy A = 1, B = 2, C = 4 i D = 6.
Na końcu oblicz przesunięcie fazowe ze wzoru C/B. Po podstawieniu wartości C i B otrzymasz poziome przesunięcie wykresu.
4. Czy przesunięcie poziome i fazowe jest takie samo?
Tak. W odniesieniu do wykresu funkcji trygonometrycznej przesunięcie poziome i fazowe opisują tę samą zmianę położenia wzdłuż osi x. Wartość dodatnia oznacza przesunięcie w prawo, a ujemna — w lewo.
5. Kalkulator przesunięcia fazowego
Kalkulator przesunięcia fazowego może wyznaczyć kąt fazowy na podstawie częstotliwości sygnału i różnicy czasu między przebiegami. W przypadku funkcji trygonometrycznej wykorzystuje natomiast współczynniki odczytane z równania.
Ostatnie słowa
Po przejściu przez przykłady łatwiej rozpoznać elementy potrzebne do obliczenia przesunięcia fazowego, w tym:
- Kąt fazowy
- Wpływ współczynników funkcji
Najważniejsze jest prawidłowe odczytanie postaci równania.
Przy analizie funkcji należy uwzględnić cztery wielkości: amplitudę, okres, przesunięcie fazowe i przesunięcie pionowe. Ich rozdzielenie pozwala poprawnie zinterpretować równanie oraz narysować wykres.
Kalkulator przyspiesza obliczenia, ale znajomość zależności między parametrami ułatwia sprawdzenie, czy wynik ma sens.
Jeśli potrzebujesz dodatkowych informacji dotyczących analizy fazy w układach elektronicznych, skontaktuj się z nami.